1. Exemplo de Motivação Se você regredir a taxa de inflação atual do quarto8217s, na taxa do quarto8217s anterior usando dados de FRED durante o período de Q3-1987 a Q4-2014, então você obtém a estimativa de ponto de AR (1), onde o número em Parênteses denota o erro padrão, e a série de tempo de taxa de inflação, foi degradada. Em outras palavras, se a taxa de inflação for superior nos pontos Q1-2015, então, em média, será superior em Q2-2015, pontos maiores no terceiro trimestre de 2015, e assim por diante8230. A função que descreve a cascata da taxa de inflação futura As mudanças devido a um choque inesperado no período são conhecidas como função de resposta ao impulso. Mas muitos fenômenos de séries temporais interessantes envolvem múltiplas variáveis. Por exemplo, Brunnermeier e Julliard (2008) mostram que a taxa de preço da casa, é inversamente relacionada à taxa de inflação. Se você rectificar a inflação atual do quarto8217 e as taxas de valorização do preço da casa nas taxas do quarto trimestre de 8217 anteriores utilizando dados degradados do índice Case-ShillerS038P. Então você obtém: essas estimativas pontuais indicam que, se a taxa de inflação fosse maior no primeiro trimestre de 2015, a taxa de inflação seria mais alta no segundo trimestre de 2015 e a taxa de valorização do preço da casa seria menor no segundo trimestre de 2015. A computação da função de impulso-resposta para esta regressão automática vetorial (VAR) é mais difícil do que o cálculo da mesma função para a taxa de inflação AR (1) porque a taxa de inflação e os choques da taxa de avaliação do preço da casa estão correlacionados: em outras palavras, Quando você vê um ponto de choque com a inflação, você também tende a ver um ponto de choque para a taxa de valorização do preço da casa. Assim, calcular os efeitos futuros de um choque para a taxa de inflação e um choque de ponto para a taxa de valorização do preço da casa dá-lhe informações sobre um choque unitário que não ocorre no mundo real. Nesta publicação, mostro como explicar esse tipo de correlação ao calcular a função de resposta de impulso para VARs. Aqui está o código relevante. 2. Função Impulso-Resposta Antes de estudar VARs, let8217s primeiro definem a função de resposta ao impulso mais cuidadosamente no mundo escalar. Suponha que possamos obter alguns dados gerados por um AR (1), onde,, e. Por exemplo, se analisarmos dados de inflação trimestrais, então. Nesta configuração, o que aconteceria se houvesse um choque súbito no período. Como esperamos que o nível de mudança? E o nível de Or, o nível de qualquer arbitrário para Como um ponto de choque com a taxa de inflação atual se propaga Pequenos trimestres Bem, é fácil calcular a expectativa de tempo de: Iterando nessa mesma estratégia, dá a expectativa de tempo: então, em geral, a expectativa de tempo de qualquer futuro será dada pela fórmula e a função de resposta ao impulso para O processo AR (1) será: Se você soubesse que houve um choque súbito de tamanho, sua expectativa de mudança mudaria pelo valor. A figura abaixo representa a função de resposta ao impulso para usar a estimativa do ponto AR (1) pela Equação (1). Há outra maneira ligeiramente diferente de você pensar sobre uma função de resposta ao impulso, por exemplo, como os coeficientes para a representação média móvel das séries temporais. Considere reescrever o processo de geração de dados usando operadores de atraso, onde, e assim por diante8230 Sempre que o coeficiente de inclinação é menor do que, sabemos disso, e existe uma representação média móvel de: isto é, ao invés de escrever cada um como função de Um valor atrasado, e um choque contemporâneo, podemos representar cada um como uma média ponderada de todos os choques anteriores que foram realizados, com choques mais recentes ponderados mais fortemente. Se normalizarmos todos os choques para ter variância unitária, os próprios pesos serão dados pela função de resposta ao impulso: é claro, isso é exatamente o que você esperava para um processo de covariância-estacionário. O impacto dos choques anteriores no valor atual realizado melhor seria o mesmo que o impacto dos choques atuais em valores futuros. 3. De ARs para VARs We8217ve apenas visto como calcular a função de resposta de impulso para um processo AR (1). Let8217s agora examinam como estender esta configuração onde existem duas séries temporais, em vez de apenas. Este par de equações pode ser escrito na forma de matriz da seguinte forma, onde e. Por exemplo, se você pensa como a taxa de inflação trimestral e como a taxa trimestral de valorização do preço da casa, a matriz de coeficientes é dada na Equação (2). Nada sobre a construção da representação média móvel de exigida que seja um escalar, então podemos usar exatamente os mesmos truques para escrever o vetor dimensional como uma média móvel: Mas, isso é muito menos claro neste contexto de valor vetorial, como nós devemos Recuperar a função de impulso-resposta da representação da média móvel. Em outras palavras, o análogo da matriz de Let8217s aplica o operador de busca. Esta matriz de mistério, let8217s chamada, tem que ter duas propriedades distintas. Em primeiro lugar, é necessário redimensionar o vetor de choques, em algo que tem uma norma de unidade, da mesma forma que na análise acima. É por isso que eu escrevo a matriz do mistério em vez de simplesmente. Em segundo lugar, a matriz deve explicar o fato de que os choques, e, estão correlacionados, de modo que os choques do ponto da taxa de inflação sejam sempre acompanhados de choques pontuais na taxa de avaliação do preço da casa. Como os choques para cada variável podem ter desvios padrão diferentes, por exemplo, enquanto, o efeito de um choque sobre a taxa de inflação na taxa de avaliação do preço da casa, será diferente do efeito de um choque para a apreciação do preço da casa Taxa sobre a taxa de inflação,. Assim, cada variável no vetor terá sua própria função impulso-resposta. É por isso que escrevo a matriz do mistério em vez de. Acontece que, se escolhermos ser a decomposição de Cholesky, teremos ambas as propriedades que queremos, como apontaram nos Sims (1980). O caso simples-dimensional é realmente útil para entender o porquê. Para começar, let8217s escrevem a matriz de variação-covariância dos choques, como se segue, onde. A decomposição de Cholesky pode então ser resolvida à mão: uma vez que trabalhamos apenas com uma matriz dimensional, também podemos resolver manualmente: então, por exemplo, se houver um par de choques, então converteremos esse choque em: Em outras palavras, a matriz reinicia para ter a norma da unidade, e roda o vetor para explicar a correlação entre e. Para apreciar como a rotação leva em conta a correlação positiva entre e, observe que a matriz transforma o choque em um vetor que está apontando o desvio padrão na direção e na direção. Ou seja, dado que você observou um choque positivo, observar um choque seria um resultado surpreendentemente baixo. Se nos conectarmos à nossa representação da média móvel, obtemos a expressão abaixo, o que implica que a função de resposta ao impulso é dada por: A figura abaixo representa a função de resposta de impulso para ambos e implícita por um choque de unidade para usar o Matriz de coeficientes da Equação (2). Navegação de mensagens O Guia de cientistas e engenheiros para processamento de sinal digital Por Steven W. Smith, Ph. D. Como o nome indica, o filtro de média móvel opera pela média de um número de pontos do sinal de entrada para produzir cada ponto no sinal de saída. Na forma da equação, esta é escrita: onde é o sinal de entrada, é o sinal de saída e M é o número de pontos na média. Por exemplo, em um filtro de média móvel de 5 pontos, o ponto 80 no sinal de saída é dado por: Como alternativa, o grupo de pontos do sinal de entrada pode ser escolhido simetricamente em torno do ponto de saída: Isso corresponde à alteração da soma na Eq . 15-1 de: j 0 a M -1, para: j - (M -1) 2 para (M -1) 2. Por exemplo, em um filtro de média móvel de 10 pontos, o índice, j. Pode correr de 0 a 11 (média de um lado) ou -5 a 5 (média simétrica). A média simétrica requer que M seja um número ímpar. A programação é ligeiramente mais fácil com os pontos em apenas um lado no entanto, isso produz uma mudança relativa entre os sinais de entrada e de saída. Você deve reconhecer que o filtro de média móvel é uma convolução usando um kernel de filtro muito simples. Por exemplo, um filtro de 5 pontos possui o kernel de filtro: 82300, 0, 15, 15, 15, 15, 15, 0, 08230. Ou seja, o filtro médio móvel é uma convolução do sinal de entrada com um impulso retangular com um Área de um. A Tabela 15-1 mostra um programa para implementar o filtro médio móvel. Resposta ao impulso e convolução O processamento do sinal digital é (principalmente) uma algebra linear aplicada. A relevância da multiplicação da matriz tornou-se fácil de entender para a correspondência de cores. Nós tínhamos dimensões fixas de 1 (número de luzes de teste), 3 (número de luzes primárias, número de fotopigmentos) e 31 (número de pontos de amostra em uma distribuição de energia espectral para uma luz ou na absorção espectral de um pigmento) E verificou-se que alguns fatos importantes sobre visão de cores podem modelar como projeção de vetores espectrales de dimensão superior em um subespaço psicológico de menor dimensão. Também é fácil ver como essa idéia funciona quando modelavam uma relação entre variáveis independentes (como condições experimentais) e variáveis dependentes (como respostas de assunto), ou quando tentavam classificar conjuntos de medidas multivariadas (como valores de formantes). Mas o que significa interpretar o processamento de sinais de áudio ou vídeo como multiplicação de matriz e por que queremos considerar um caso simples. O padrão de CD amostrói uma forma de onda de áudio 44,100 vezes por segundo, de modo que uma peça com duração de 2:48 contém 7.408.800 amostras (ignorando a questão do estéreo). Suponhamos que desejamos ajustar a intensidade relativa das frequências baixas, médias e altas, para compensar a acústica da sala, o nosso sistema de falantes ou o nosso gosto pessoal. As 7.408.800 amostras são elementos de um vetor, qualquer função de equalização (bem como mostra mais tarde) é linear, e qualquer transformação linear é equivalente a uma multiplicação de matriz para que possamos modelar seu efeito em um canal de nossa música como multiplicação por um 7.408.800 por Matriz 7.408.800. Tudo o que temos a fazer é multiplicar nosso vetor de coluna de 7.408.800 elementos por esta matriz, produzindo outro vetor de coluna com o mesmo número de elementos - e este será o nosso bit de áudio equalizado. Se quisermos operar em uma gravação de meia hora, a escala da operação aumentaria em proporção. Isso não parece uma técnica muito prática. É conceitualmente correto, e às vezes pode ser útil pensar nas coisas dessa maneira. No entanto, isto é (desnecessário dizer) não como uma implementação DSP de um equalizador é realizada. Há maneiras muito mais fáceis, que são matematicamente equivalentes para sistemas com certas propriedades, cujas matrizes possuem propriedades correspondentes que permitem a implementação simples e eficiente do cálculo equivalente. Este tópico pode ser reduzido a um slogan: o efeito de qualquer sistema linear, alternativo-invariante em um sinal de entrada arbitrária é obtido por convolução do sinal de entrada com a resposta do sistema a um impulso unitário. Para ter uma idéia do que isso pode ser bom, considere algumas coisas no mundo real que são (ou, pelo menos, podem ser modeladas com sucesso como) sistemas alternativos de alternância linear: depois de entender a terminologia neste slogan, será quase Imediatamente óbvio que é verdade, então, em certo sentido, esta palestra é principalmente uma questão de aprender algumas definições. Já sabemos o que é um sistema linear. Um sistema invariante de mudança é aquele em que mudar a entrada sempre muda a saída pela mesma quantidade. Quando estavam representando sinais por vetores, então uma mudança significa um inteiro constante adicionado a todos os índices. Assim, o vetor de mudança v por n amostras produz um vetor w tal que w (in) v (i). Nota: há um pequeno problema aqui, é decidido o que acontece nas bordas. Assim, para uma mudança positiva n, o primeiro elemento de w deve corresponder ao elemento n. ° inferior de v - mas v não é definido para índices menores que 1 (ou zero, se decidimos começar aí). Existe um problema semelhante na outra extremidade. A matemática DSP convencional resolve esse problema tratando os sinais como tendo extensão infinita - definida para todos os índices de infinito inferior ao infinito. Os sinais do mundo real geralmente começam e param, no entanto. Esta é uma questão bem retornar várias vezes, inclusive uma vez no final desta palestra, quando bem fornecer uma conta ligeiramente mais formal, tanto na perspectiva EEDSP quanto na perspectiva da álgebra linear. Para os sinais que são funções do tempo - ou seja, onde a sucessão de índices corresponde a uma seqüência de pontos de tempo - um sistema invariante de mudança pode ser chamado equivalentemente de um sistema invariante no tempo. Aqui, a propriedade de mudança de invariância tem um significado particularmente intuitivo. Suponhamos que investigamos algum ressonador acústico com uma entrada específica às 12:00 horas, em 25 de janeiro de 1999, e obtenha uma resposta (seja lá o que for), que gravamos. Então, examinamos o mesmo sistema novamente com a mesma entrada, às 12:00 horas do dia 26 de janeiro de 1999. Esperamos gravar o mesmo resultado - acabou de mudar no horário em 24 horas. A mesma expectativa seria aplicada para uma diferença horária de Uma hora, ou um minuto. Finalmente, se atrasarmos hipoteticamente a entrada em 1 milésimo de segundo, esperamos que a saída seja adiada pela mesma quantidade e, de outra forma, não seja alterada. O ressonador não sabe a que horas são e responde da mesma maneira, independentemente de quando é Sondado. Um impulso unitário (para propósitos presentes) é apenas um vetor cujo primeiro elemento é 1 e todos cujos outros elementos são 0. (Para os sinais digitais dos engenheiros elétricos de extensão infinita, o impulso da unidade é 1 para o índice 0 e 0 para todos Outros índices, de menos infinito até infinito). Bem, trabalhe até o que é convolução dando um exemplo simples. Tem um gráfico de 50 amostras (cerca de 6 milissegundos) de uma forma de onda de fala. Estavam representando esta forma de onda como uma seqüência de números - um vetor - e, a partir desta perspectiva, uma representação gráfica mais adequada dos mesmos dados é um gráfico de pirulito, que nos mostra cada amostra como um pequeno pirulito que fica acima ou abaixo de uma linha zero : Permite ampliar os primeiros seis desses números: Matlab nos informará seus valores específicos: Podemos pensar que esse vetor de seis elementos é a soma de seis outros vetores s1 a s6. Cada um dos quais carrega apenas um dos seus valores, sendo todos os outros valores zero: lembre-se de que um impulso (no contexto atual, de qualquer forma) é um vetor cujo primeiro elemento possui o valor 1 e todos cujos elementos subseqüentes são zero. O vetor chamado s1 é um impulso multiplicado por 10622. O vetor s2 é um impulso deslocado para a direita por um elemento e dimensionado em 5624. Assim, estamos decompondo s em um conjunto de impulsos escalados e deslocados. Deve ficar claro que podemos fazer isso com um vetor arbitrário. A mesma decomposição representada graficamente: por que isso é interessante, considere algum sistema arbitrário alternativo-invariante linear D. Suponha que apliquemos D (sem saber nada mais sobre isso) para um impulso, com o resultado mostrado abaixo: a primeira amostra da saída é 1, a segunda amostra é -1 eo restante das amostras são 0. Esse resultado É a resposta de impulso de D. Isso é suficiente para prever o resultado da aplicação de D aos nossos impulsos escalados e deslocados, s 1. s n. Porque D é invariante para mudança de turno. O efeito de mudar a entrada é apenas para mudar a saída pela mesma quantidade. Assim, uma entrada que consiste em um impulso unitário deslocado por qualquer quantidade arbitrária produzirá uma cópia da resposta de impulso. Deslocado pelo mesmo valor. Sabemos também que D é linear. E, portanto, um impulso escalonado como entrada produzirá uma cópia escalonada da resposta ao impulso como saída. Usando esses dois fatos, podemos prever a resposta de D a cada um dos impulsos escalados e deslocados s 1. s n. Isso é mostrado graficamente abaixo: se organizarmos as respostas para s1. S6 como as linhas da matriz, os números reais ficarão assim: (A disposição dessas saídas como as linhas de uma matriz é puramente para conveniência tipográfica, note-se também que permitimos que a resposta a entrada s6 caia do fim do mundo , Por assim dizer). Esta informação, por sua vez, é suficiente para nos permitir prever a resposta do sistema D ao vetor original s. Que (por construção) é apenas a soma de s1 s2 s3 s4 s5 s6. Como D é linear, aplicá-lo a esta soma é o mesmo que aplicá-lo aos componentes individuais da soma e somar os resultados. Esta é apenas a soma das colunas da matriz mostrada acima: (Soma Matlab, aplicada a uma matriz, produz um vetor de linhas das somas das colunas). Observe que (pelo menos para a segunda posição na soma e para a frente) Isso faz com que a saída na posição i seja igual à diferença entre a entrada na posição i e a entrada na posição i-1. Em outras palavras, D está calculando a primeira diferença de sua entrada. Deve ficar claro que o mesmo procedimento básico funcionará para qualquer sistema linear invariante de mudança, e para qualquer entrada de tal sistema: expressar a entrada como uma soma de impulsos escalados e deslocados, calcule a resposta a cada um deles, escalando e deslocando A resposta de impulso dos sistemas somou o conjunto resultante de respostas de impulso escalonadas e deslocadas. Esse processo de somar um conjunto de cópias escalonadas e deslocadas de um vetor (aqui a resposta de impulso), usando os valores de outro vetor (aqui a entrada) como valores de escala, é convolução - pelo menos, esta é uma maneira de definir isto. Outra maneira: a convolução de dois vetores a e b é definida como um vetor c. Cujo kth elemento é (em termos MATLAB-ish) (O 1 em k1-j é devido ao fato de que os índices MATLAB têm o mau gosto para começar de 1 em vez do matematicamente mais elegante 0). Esta formulação ajuda a indicar que também podemos pensar em convolução como um processo de tomar uma média ponderada em execução de uma seqüência - ou seja, cada elemento do vetor de saída é uma combinação linear de alguns dos elementos de um dos vetores de entrada - - onde os pesos são retirados do outro vetor de entrada. Há alguns pequenos problemas: por quanto tempo deve ser e o que devemos fazer se k 1- j for negativo ou maior do que o comprimento de b. Esses problemas são uma versão dos efeitos de ponta que já sugerimos, e veremos novamente. Uma solução possível é imaginar que estamos convolvendo duas seqüências infinitas criadas pela incorporação de a e b em um oceano de zeros. Agora, valores de índice arbitrários - negativos, aqueles que pareciam muito grandes - fazem todo o sentido. O valor de uma extensão estendida e ampliada para valores de índice fora de seu alcance atual agora está perfeitamente bem definido: sempre zero. O resultado da Equação 1 será outra sequência de comprimento infinito c. Um pouco de pensamento irá convencê-lo de que a maioria dos c também será necessariamente zero, uma vez que os pesos não-zero de b e os elementos não-zero de um não coincidirão nesses casos. Quantos elementos de c têm a chance de não ser zero. Bem, apenas aqueles inteiros k para os quais há pelo menos um inteiro j tal que 1 lt j lt comprimento (a) e 1 lt k1-j lt comprimento (b). Com um pouco mais de pensamento, você pode ver que isso significa que o comprimento de c será um menos do que a soma dos comprimentos de a e b. Referindo-se novamente à Equação 1 e imaginando os dois vetores a e b como incorporados em seus mares de zeros, podemos ver que obteremos a resposta correta se permitimos que k corra de 1 a comprimento (a) comprimento (b) - 1, e para cada valor de k. Permita j correr de max (1, k 1-length (b)) para min (k, comprimento (a)). Mais uma vez, tudo isso está nos termos do índice MATLAB, e assim podemos transferi-lo diretamente para um programa MATLAB myconv () para realizar a convolução: isso nos dará apenas a parte do c conceitualmente infinito que tem a chance de ser diferente de zero . MATLAB tem uma função de convolução incorporada conv (), para que possamos comparar aquilo que acabamos de escrever: Como um lado, devemos mencionar que a convolução também nos dará os resultados corretos se pensarmos em a, b e c como o Coeficientes de polinômios, sendo c os coeficientes do polinômio resultantes da multiplicação de a e b juntos. Assim, a convolução é isomórfica para a multiplicação polinomial, de modo que, e. Também pode ser interpretado como significando que (2x 3) (4x 5) 8x2 22x 15 e também pode ser interpretado como significando que (3x 4) (5x2 6x 7) 15x3 38x2 45x 28 Se você acredita nisso, segue-se imediatamente da comutatividade Da multiplicação de que a convolução também troca (e é associativa, e distribui sobre a adição). Podemos exemplificar estas propriedades de forma empírica: estes são pontos importantes, então, se você não vê imediatamente que eles são sempre verdadeiros, passe algum tempo com a Equação 1 - ou com o operador de convolução em Matlab - e convença-se. Nós apresentamos duas imagens de conv (a, b): em uma, adicionamos um monte de cópias escalonadas e deslocadas de uma, cada cópia escalada por um valor de b, e deslocada para alinhar com a localização desse valor em b . No outro, usamos uma média ponderada de a, levando b (para trás) como os pesos. Podemos ver a relação entre essas duas imagens ao expressar a Equação 1 em forma de matriz. Nós pensamos em b como a resposta de impulso do sistema, como a entrada, e c como a saída. Isso implica que a matriz para S terá dimensões de comprimento (c) por comprimento (a), se c S a deve ser legal matix-ese. Cada elemento da saída c será o produto interno de uma linha de S com a entrada a. Esta será exatamente a Equação 1 se a linha de S em questão for apenas b. Invertido no tempo, deslocado e adequadamente preenchido com zeros. À medida que b se desloca para fora da imagem, nós simplesmente mudamos em zeros do mar de zero, nós nos imaginamos estar flutuando. Uma pequena modificação do nosso programa de convolução produzirá a matriz necessária: assim cmat (a, b) cria um operador de matriz C que pode ser multiplicado pelo vetor a para criar exatamente o mesmo efeito que a convolução de a com b: Isso funciona porque as linhas de C são adequadamente deslocadas (para trás) de cópias de b - ou equivalentemente, porque as colunas de C São adequadamente transferidas (para a frente) cópias de b. Isso nos dá as duas imagens de operadores convolucionais: A MÉDIA PONDERADA EM FUNCIONAMENTO DA ENTRADA: as linhas de C são deslocadas para trás cópias de b. E o produto interno de cada linha com um irá dar-nos uma média ponderada de uma peça adequada de a. Que nos colocamos no local apropriado na saída c. A SOMBRA DE CÓPIAS ESCALADAS E SHIFTADAS DA RESPOSTA DE IMPULSO: as colunas de C são cópias deslocadas de b. Tomando a outra visão da multiplicação da matriz, a saber, que a saída é a soma das colunas de C ponderadas pelos elementos de a. Nos dá a outra imagem de convolução, ou seja, adicionando um conjunto de cópias escalonadas e deslocadas da resposta de impulso b. Um exemplo maior: ao trabalhar com os detalhes da convolução, tivemos que lidar com o efeito de ponta: o fato de que a equação de convolução (Equação 1) implica valores de índice para entradas de comprimento finito a e b fora do intervalo em que são definidas . Obviamente, poderíamos escolher uma série de maneiras diferentes de fornecer os valores perdidos - a escolha particular que fazemos deve depender do que estamos fazendo. Existem alguns casos em que o conceito de mar de zero é exatamente correto. No entanto, existem situações alternativas em que outras idéias têm mais sentido. Por exemplo, podemos pensar em b como sentado em um mar de infinitas cópias repetidas de si. Uma vez que isso significa que os valores do índice fora do fim de b se deslocam para a outra extremidade de forma modular, como se b estivesse em um círculo, o tipo de convolução que resulta é chamado de convolução circular. Tenha isso em mente: voltaremos a ele em uma palestra posterior. Enquanto isso, vamos repetir o slogan com o qual começamos: O efeito de qualquer sistema linear, alternativo-invariante em um sinal de entrada arbitrário, é obtido ao convolver o sinal de entrada com a resposta do sistema a um impulso unitário. (Observe que esta é a mesma propriedade de sistemas lineares que observamos no caso de correspondência de cores - onde poderíamos aprender tudo o que precisávamos saber sobre o sistema, avaliando-o com um conjunto limitado de entradas monocromáticas. Se o sistema fosse apenas Linear e não invariante em mudança, a analogia aqui seria ensaiar com impulsos unitários em cada valor de índice possível - cada uma dessas sondagens nos dando uma coluna da matriz do sistema. Isso era prático com um vetor de 31 elementos, mas ele Seria menos atraente com vetores de milhões ou bilhões de elementos No entanto, se o sistema também for invariável em mudança, uma sonda com apenas um impulso é suficiente, uma vez que as respostas de todos os casos deslocados podem ser previstas a partir da mesma. A convolução pode sempre Ser visto como uma multiplicação de matriz - isso deve ser verdade, porque um sistema que pode ser implementado por convolução é um sistema linear (além de ser invariante por mudança). A invariância por mudança de turno significa que a matriz do sistema possui redundâncias particulares. Quando a resposta ao impulso é de duração finita, este slogan não é apenas matematicamente verdadeiro, mas também é uma maneira bastante prática de implementar o sistema, porque podemos implementar a convolução em um número fixo de amostras múltiplas por amostra de entrada (exatamente como Muitos, pois existem valores não-zero na resposta ao impulso dos sistemas). Os sistemas desse tipo geralmente são chamados de filtros de resposta de impulso finito (FIR) ou filtros de média móvel equivalentemente. Quando a resposta de impulso é de duração infinita (como perfeitamente pode ser em um sistema linear alternativo-invariante), então este slogan permanece matematicamente verdadeiro, mas é de valor menos prático (a menos que a resposta de impulso possa ser truncada sem efeito significativo). Saiba mais tarde como implementar filtros de resposta de impulso infinito (IIR) eficientemente. A perspectiva do EEDSP. O objetivo desta seção é desenvolver o material básico na resposta ao impulso e convolução no estilo que é comum na literatura de processamento de sinal digital na disciplina de Engenharia Elétrica, de modo a ajudá-lo a se familiarizar com o tipo de notação que você é É provável encontrar lá. Além disso, talvez reverte as mesmas idéias novamente em uma notação diferente irá ajudá-lo a assimilar thm - mas tenha cuidado para manter a notação DSPEE separada em sua mente da notação de álgebra linear, ou você ficará muito confuso. Nesta perspectiva, tratamos Um sinal digital s como uma sequência de números infinitamente longa. Podemos adaptar a ficção matemática do infinito à realidade finita diária assumindo que todos os valores de sinal são zero fora de uma sub-sequência de comprimento finito. As posições em uma dessas seqüências de números infinitamente longas são indexadas por números inteiros, de modo que tomamos s (n) para significar o n-ésimo número na seqüência s, usualmente chamado s de n para breve. Às vezes, alternativamente, usaremos s (n) para se referir a toda a seqüência s. Pensando n como uma variável grátis. Vamos deixar um índice como n alcance sobre negativos, bem como inteiros positivos, e também zero. Assim, onde as cintas curly são um conjunto de significados de notação, de modo que toda a expressão significa o conjunto de números s (n) onde n assume todos os valores de menos infinito para infinito. Referiremos os números individuais em uma sequência s como elementos ou amostras. A palavra amostra vem do fato de que geralmente pensamos nessas seqüências como versões amostradas discretamente de funções contínuas, como o resultado da amostragem de uma forma de onda acústica alguns números finitos de vezes por segundo, mas na verdade nada que é apresentado nesta seção Depende de uma seqüência que seja diferente de um conjunto de números ordenados. O impulso da unidade ou a seqüência de amostra da unidade. Escrito, é uma seqüência que é um no ponto de amostra zero, e zero em qualquer outro lugar: o Sigma do capital grego,, soma pronunciada. É usado como uma notação para adicionar um conjunto de números, tipicamente, tendo alguma variável assumida em um conjunto especificado de valores. Assim, a abreviatura é uma abreviatura para A notação é particularmente útil ao lidar com somas sobre sequências. No sentido de seqüência usada nesta seção, como no exemplo simples a seguir. A seqüência da etapa da unidade. Escrito n (n), é uma seqüência que é zero em todos os pontos de amostra inferiores a zero e 1 em todos os pontos de amostra maiores ou iguais a zero: a seqüência do passo da unidade também pode ser obtida como uma soma cumulativa do impulso da unidade: Até n -1, a soma será 0, uma vez que todos os valores de negativos n são 0 em n 0 a soma acumulada sai para 1, uma vez que a soma cumulativa fica em 1 para todos os valores de n maiores do que. Já que o resto dos valores de 0 são novamente. Este não é um uso particularmente impressionante da notação, mas deve ajudá-lo a entender que pode ser perfeitamente sensato falar sobre somas infinitas. Observe que também podemos expressar a relação entre u (n) e na outra direção: em geral, é útil falar sobre a aplicação das operações ordinárias da aritmética em seqüências. Assim, podemos escrever o produto das seqüências x e y como xy. Significando a seqüência composta pelos produtos dos elementos correspondentes (não o produto interno): Da mesma forma, a soma das seqüências x e y pode ser escrita x y. Significando que uma seqüência x pode ser multiplicada por um escalar, com o significado de que cada elemento de x é individualmente multiplicado: Finalmente, uma seqüência pode ser deslocada por qualquer número inteiro de pontos de amostra: já usamos essa notação quando expressamos o impulso unitário Seqüência em termos da seqüência do passo da unidade, como a diferença entre uma amostra dada e a amostra imediatamente anterior. Qualquer sequência pode ser expressa como uma soma de amostras de unidades escaladas e deslocadas. Conceitualmente, isso é trivial: nós fazemos, para cada amostra da seqüência original, uma nova seqüência cujo único membro não-zero é essa amostra escolhida e somamos todas essas seqüências de amostra única para compor a sequência original. Cada uma dessas seqüências de amostra única (realmente, cada seqüência contém infinitamente muitas amostras, mas apenas uma delas é diferente de zero) pode, por sua vez, ser representada como um impulso unitário (uma amostra do valor 1 localizada no ponto) escalada pelo apropriado Valor e deslocado para o local apropriado. Em linguagem matemática, é onde k é uma variável que escolhe cada uma das amostras originais, usa seu valor para escalar o impulso da unidade e, em seguida, muda o resultado para a posição da amostra selecionada. Um sistema ou transformar T mapeia uma seqüência de entrada x (n) em uma seqüência de saída y (n):
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